Когда предела не существует? 4 случая и примеры — wiki-how.ru
15.07.2024

Когда предела не существует? 4 случая и примеры

Вы только начинаете осваивать ограничения, и теперь ваш учитель просит вас выяснить, когда их не существует. С чего вы вообще начинаете? Мы понимаем: исчисление может сбивать с толку и строить из понятий, которые вы все еще пытаетесь понять. К счастью, есть явные случаи, когда предела не существует. В этой статье мы рассмотрим эти ситуации и расскажем, как найти несуществующий лимит для разных функций. Если вы готовы погрузиться в ограничения, читайте дальше!

Что следует знать

    Предел не существует, когда правая и левая части функции приближаются к разным значениям. Нет предела, если функция приближается к отрицательной или положительной бесконечности по мере приближения к значению. Если функция скачет или колеблется между несколькими значениями по мере приближения к значению, предела не существует.

Случаи, когда ограничение не существует

    1. Пределы разные для каждой стороны функции. Когда вы оцениваете предел функции, вы должны смотреть на то, как x{displaystyle x}< р>Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> приближается к значению c{displaystyle c}</p>
<p><img decoding=

    слева и справа от функции. Если левая часть функции приближается к другому пределу, чем правая сторона, то предел не существует. Это означает, что функция не является непрерывной на всем протяжении, что часто бывает, когда на графике функции есть скачок или разрыв.

      Например, посмотрите на график limx→0|x|x{displaystyle lim _{xto 0}{frac {|x|}{x}}}

      Когда лимит не существует? 4 Случаи и примеры

      .

        Как x{displaystyle x}

        Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> приближается к 0 слева, приближается к y=−1{displaystyle y=-1}</p>
<p><img decoding=< /p> Как x{displaystyle x}

        Когда не существует предела? 4 случая и примеры

        приближается к 0 справа, приближается к y=1{displaystyle y=1}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        Левый и правый пределы не могут быть limx→0|x|x{displaystyle lim _{xto 0}{frac {|x|}{x}}}

        Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> не существует. </ul>
<p> Левый предел записывается как limx→c−f(x)=L{displaystyle lim _{xto c-}f(x)=L}</p>
<p><img decoding=

        , где предел е (х) { displaystyle f (x)}

        Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> as x{displaystyle x}</p>
<p><img decoding=

        приближается к значению c{displaystyle c}< р>Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> — предел L{displaystyle L}</p>
<p><img decoding=

        . С левой стороны вы смотрите на значения x{displaystyle x}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        меньше c{displaystyle c}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        . Правый предел записывается как limx→c+f(x)=L{displaystyle lim _{xto c+}f(x)=L}

        Когда не существует предела? 4 случая и примеры

        . На правом пределе вы смотрите на значения x{displaystyle x}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        , превышающие c{displaystyle c}

        Когда лимит не существует ? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. </ul>
<p> 2. <b class=Функция безгранична или не приближается к конечному значению. Некоторые функции имеют кривые, которые приближаются к вертикальной линии, называемой вертикальной асимптотой. Функция никогда не касается линии, но расстояние между кривой и линией становится все ближе и ближе к 0 по мере того, как функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности. Если вы оцениваете limx→c{displaystyle lim _{xto c}}

        Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> и функция имеет вертикальную асимптоту в точке x=c{displaystyle x=c}</p>
<p><img decoding=

        , то предела не существует. По крайней мере, 1 сторона функции стремится к бесконечности в точке x = c { displaystyle x = c}

        Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры

        , которое не является конечным действительным числом.

          Например, посмотрите на график limx→01×2{displaystyle lim _{xto 0}{frac {1}{x^{2}}}}

          Когда не существует предела? ; Примеры

          .

            Эта функция имеет вертикальную асимптоту при x=0{displaystyle x=0}

            Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. Левая часть функции стремится к бесконечности по мере приближения к x=0{displaystyle x=0}</p>
<p><img decoding=

            , поэтому limx→0−1×2= ∞ { displaystyle lim _ {x to 0-} { frac {1} {x ^ {2}}} = infty }

            Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. Правая часть функции стремится к бесконечности по мере приближения к x=0{displaystyle x=0}</p>
<p><img decoding=

            , поэтому limx→0+1×2=∞{displaystyle lim _{xto 0+}{frac {1}{x^{2}}}=infty }

            Когда не существует лимита? 4 случая & Примеры

            . Итак, limx→01×2=∞{displaystyle lim _{xto 0}{frac {1}{x^{2}}}=infty }

            Когда не существует предела? 4 случая и примеры

            которое не является конечным числом, поэтому предела не существует.

        3. Функция колеблется между более чем 1 значением. Чтобы ограничение существовало, функция должна остановиться на 1 значении по мере приближения к некоторому значению. c { displaystyle c}

        Когда предела не существует? 4 случая и примеры

        . В некоторых случаях функция подпрыгивает или колеблется между двумя или более значениями по мере приближения к c{displaystyle c}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        . По мере того, как он становится все ближе и ближе к c{displaystyle c}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        , колебания становятся быстрее. Таким образом, в этих случаях функция не останавливается на 1 значении, поэтому предела не существует.

          Например, посмотрите на график limx→0cos(πx){displaystyle lim _{xto 0}cos({frac {pi}{x}})}

          Когда лимит не существует? 4 случая и примеры

          .

            По обе стороны от функции, как x{displaystyle x}

            Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> приближается к 0, оно широко колеблется между y = −1 {displaystyle y=-1}</p>
<p><img decoding= и у = 1 { Displaystyle у = 1} <р>Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. Прыжки туда-сюда вокруг 0 ​​означают, что предел не существует для limx→0cos(πx){displaystyle lim _{xto 0}cos({frac {pi}{x}})} </p>
<p><img decoding=

            .

        4. Функция определена только для некоторых значений x.Этот случай аналогичен тому, что предела не существует, когда левый и правый пределы различны. Некоторые функции имеют значения x, которые не определены или не существуют. Если функция не может приблизиться к некоторому значению c { displaystyle c}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        с 1 стороны, поскольку значения x не существуют, тогда предел для эта функция не может существовать. <ул>Например, посмотрите на график limx→0x{displaystyle lim _{xto 0}{sqrt {x}}}

        Когда предел не существует? 4 случая и примеры

        .

          е (х) = х { displaystyle f (x) = { sqrt {x}}}

          Когда предел не существует? 4 случая и примеры

          не определено для любых значений x, меньших 0, потому что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа (это дает вам мнимое число). Итак, хотя x{displaystyle x}

          Когда предел не существует? 4 случая и примеры

          приближается к 0 справа, x{displaystyle x}

          Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры »/></p>
<p> не может приближаться ни к каким значениям слева, потому что нет значений x ниже 0. Следовательно, limx→0x{displaystyle lim _{xto 0 }{sqrt {x}}}</p>
<p><img decoding=

          не существует.

Нахождение предела, когда он не существует

    1. Нарисуйте график функции и посмотрите, как левая и правая стороны приближаются к c{displaystyle c}

    Когда лимит не существует? 4 Случаи и примеры» /></p>
<p>.</b> Самый простой способ оценить предел — посмотреть на поведение графа как x{displaystyle x}</p>
<p><img decoding=

    . Либо нарисуйте график функции вручную, либо используйте научный калькулятор для его построения. Затем посмотрите на сближение левой и правой сторон. Приближаются ли они к разным значениям? Уходит ли 1 сторона в бесконечность? Функция колеблется между несколькими значениями? Если да, то предела нет.

      Например, оцените limx→52x−5{displaystyle lim _{xto 5}{frac {2}{x-5}}}

      Когда не существует предела? 4 случая и примеры. <ул>Нарисуйте график на бумаге или подключите функцию к калькулятору. Посмотрите, как приближаются левая и правая стороны функции. a-limit-not-exist-4-cases-examples-f3dcb25.jpg» alt=»Когда предел не существует? 4 случая и примеры» />

      . Левая сторона приближается к отрицательной бесконечности, а правая сторона движется к положительной бесконечности. Итак, предела не существует.

    2. Подставьте значения больше и меньше c{displaystyle c}

    Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p> в функцию.</b> Если у вас нет графика функции, возьмите значения справа и слева от c{displaystyle c}< p><img decoding=

    .

      Посмотрите на левую часть функции или limx→0−x|x|{displaystyle lim _{xto 0-}{frac {x}{|x|}}}

      Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. Подставьте значение слева от 0 или меньше 0, например -1: −1|−1|=−11=−1{displaystyle {frac {-1}{|-1|}} ={ frac {-1}{1}}=-1}</p>
<p><img decoding=

      . Посмотрите на правую часть функции или limx→0+x|x|{displaystyle lim _{xto 0+}{frac {x}{|x|}}}

      Когда лимит не существует? 4 случая и примеры

      . Подставьте значение справа от 0 или больше 0, например 1: 1|1|=11=1{displaystyle {frac {1}{|1|}}={frac {1} {1}}=1}

      Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. Пределы слева и справа от limx→0x|x|{displaystyle lim _{xto 0}{frac {x}{|x|}}}</p>
<p><img class=

      разные, поэтому ограничения не существует.

    Если у вас есть калькулятор, введите несколько разных значений больше и меньше x{displaystyle x}

    Когда предел не существует? 4 случая и примеры

    , которые ближе к c{displaystyle c }

     Когда предела не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. Для приведенного выше примера вы можете подставить -0,9, -0,5, 0,5 и 0,9. </ul>
<p>3. <b class=Рассчитайте предел с помощью алгебры. Вместо того чтобы использовать график, чтобы понять, как функция ведет себя вблизи предела, используйте свое понимание алгебры. Знание того, что квадратный корень никогда не может быть отрицательным или что вы не можете разделить на 0, поможет вам определить, определена ли функция как x{displaystyle x}

    Когда предел не существует? 4 случая и примеры

    приближается к некоторому значению c{displaystyle c}

    Когда предел не существует? 4 случая и примеры

    . Если это не так, вы знаете, что предела не существует.

      Например, оцените limx→−2−2x+2{displaystyle lim _{xto -2}{frac {-2}{x+2}}}

      Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. </p>
<ul> Если вы подставите -2 в функцию, знаменатель будет равен 0: −2−2+2=−20{displaystyle {frac {-2}{-2+2}}={frac {-2 {0}}}</p>
<p><img decoding=

      . Вы не можете разделить на 0, и функция не может быть дополнительно упрощена или вынесена за скобки для ее решения. Но вы знаете, что когда x>−2{displaystyle x>-2}

      Когда предел не существует? 4 случая и примеры

      в уравнении результат становится все больше и больше отрицательным, поэтому приближается к отрицательной бесконечности. Когда x<−2{displaystyle x<-2}

      Когда действует ограничение Not Exist? 4 Cases & Examples

      , результат становится все более большим и положительным, так что он приближается к положительной бесконечности. Поскольку левая и правая стороны приближаются к бесконечности, предела не существует.

Что такое предел?

    Предел — это значение, описывающее, как функция ведет себя в какой-то момент.Другими словами, предел дает вам значение, к которому функция приближается по мере приближения к другому числу. Математически предел определяется как limx→cf(x)=L{displaystyle lim _{xto c}f(x)=L}

    Когда не существует ограничения? 4 случая и примеры

    , где x{displaystyle x}

    Когда предел не существует? 4 случая и примеры

    приближается к значению c{displaystyle c}

    Когда действует ограничение Не существует? 4 случая и примеры

    в функции f(x){displaystyle f(x)}

    Когда не существует предела? 4 случая и примеры

    чтобы дать вы предел L { Displaystyle L}

    Когда действует лимит Не существует? 4 случая и примеры» /></p>
<p>. </p>
<ul>Пределы и непрерывность функции имеют тесную связь. По сути, функция непрерывна, если вы можете нарисовать ее, не поднимая карандаша. Однако математически функция непрерывна в точке c { displaystyle c} </p>
<p><img decoding=

    if:

      Функция существует по адресу x=c{displaystyle x=c}

      Когда не существует предела? 4 случая и примеры. limx→cf(x){displaystyle lim _{xto c}f(x)}

      Когда предел не существует? 4 случая и примеры

      существует в функции и является действительным числом . limx→cf(x){displaystyle lim _{xto c}f(x)}

      Когда предел не существует? 4 случая и примеры

      равно f(c){ displaystyle f(c)}

      Когда предела не существует? 4 случая и примеры

      .