Когда предела не существует? 4 случая и примеры

Вы только начинаете осваивать ограничения, и теперь ваш учитель просит вас выяснить, когда их не существует. С чего вы вообще начинаете? Мы понимаем: исчисление может сбивать с толку и строить из понятий, которые вы все еще пытаетесь понять. К счастью, есть явные случаи, когда предела не существует. В этой статье мы рассмотрим эти ситуации и расскажем, как найти несуществующий лимит для разных функций. Если вы готовы погрузиться в ограничения, читайте дальше!

Что следует знать

Предел не существует, когда правая и левая части функции приближаются к разным значениям. Нет предела, если функция приближается к отрицательной или положительной бесконечности по мере приближения к значению. Если функция скачет или колеблется между несколькими значениями по мере приближения к значению, предела не существует.

Шаги

Случаи, когда ограничение не существует

1. Пределы разные для каждой стороны функции. Когда вы оцениваете предел функции, вы должны смотреть на то, как x{displaystyle x}< р>

слева и справа от функции. Если левая часть функции приближается к другому пределу, чем правая сторона, то предел не существует. Это означает, что функция не является непрерывной на всем протяжении, что часто бывает, когда на графике функции есть скачок или разрыв.

Например, посмотрите на график limx→0|x|x{displaystyle lim _{xto 0}{frac {|x|}{x}}}



.

Как x{displaystyle x}

< /p> Как x{displaystyle x}



приближается к 0 справа, приближается к y=1{displaystyle y=1}



Левый и правый пределы не могут быть limx→0|x|x{displaystyle lim _{xto 0}{frac {|x|}{x}}}



, где предел е (х) { displaystyle f (x)}



приближается к значению c{displaystyle c}< р>

. С левой стороны вы смотрите на значения x{displaystyle x}



меньше c{displaystyle c}



. Правый предел записывается как limx→c+f(x)=L{displaystyle lim _{xto c+}f(x)=L}



. На правом пределе вы смотрите на значения x{displaystyle x}



, превышающие c{displaystyle c}

Функция безгранична или не приближается к конечному значению. Некоторые функции имеют кривые, которые приближаются к вертикальной линии, называемой вертикальной асимптотой. Функция никогда не касается линии, но расстояние между кривой и линией становится все ближе и ближе к 0 по мере того, как функция стремится к положительной или отрицательной бесконечности. Если вы оцениваете limx→c{displaystyle lim _{xto c}}



, то предела не существует. По крайней мере, 1 сторона функции стремится к бесконечности в точке x = c { displaystyle x = c}



, которое не является конечным действительным числом.

Например, посмотрите на график limx→01×2{displaystyle lim _{xto 0}{frac {1}{x^{2}}}}



.

Эта функция имеет вертикальную асимптоту при x=0{displaystyle x=0}



, поэтому limx→0−1×2= ∞ { displaystyle lim _ {x to 0-} { frac {1} {x ^ {2}}} = infty }



, поэтому limx→0+1×2=∞{displaystyle lim _{xto 0+}{frac {1}{x^{2}}}=infty }



. Итак, limx→01×2=∞{displaystyle lim _{xto 0}{frac {1}{x^{2}}}=infty }



которое не является конечным числом, поэтому предела не существует.

3. Функция колеблется между более чем 1 значением. Чтобы ограничение существовало, функция должна остановиться на 1 значении по мере приближения к некоторому значению. c { displaystyle c}



. В некоторых случаях функция подпрыгивает или колеблется между двумя или более значениями по мере приближения к c{displaystyle c}



. По мере того, как он становится все ближе и ближе к c{displaystyle c}



, колебания становятся быстрее. Таким образом, в этих случаях функция не останавливается на 1 значении, поэтому предела не существует.

Например, посмотрите на график limx→0cos(πx){displaystyle lim _{xto 0}cos({frac {pi}{x}})}



.

По обе стороны от функции, как x{displaystyle x}

и у = 1 { Displaystyle у = 1} <р>

.

4. Функция определена только для некоторых значений x.Этот случай аналогичен тому, что предела не существует, когда левый и правый пределы различны. Некоторые функции имеют значения x, которые не определены или не существуют. Если функция не может приблизиться к некоторому значению c { displaystyle c}



с 1 стороны, поскольку значения x не существуют, тогда предел для эта функция не может существовать. <ул>Например, посмотрите на график limx→0x{displaystyle lim _{xto 0}{sqrt {x}}}



.

е (х) = х { displaystyle f (x) = { sqrt {x}}}



не определено для любых значений x, меньших 0, потому что вы не можете извлечь квадратный корень из отрицательного числа (это дает вам мнимое число). Итак, хотя x{displaystyle x}



приближается к 0 справа, x{displaystyle x}



не существует.

Нахождение предела, когда он не существует

1. Нарисуйте график функции и посмотрите, как левая и правая стороны приближаются к c{displaystyle c}



. Либо нарисуйте график функции вручную, либо используйте научный калькулятор для его построения. Затем посмотрите на сближение левой и правой сторон. Приближаются ли они к разным значениям? Уходит ли 1 сторона в бесконечность? Функция колеблется между несколькими значениями? Если да, то предела нет.

Например, оцените limx→52x−5{displaystyle lim _{xto 5}{frac {2}{x-5}}}

. <ул>Нарисуйте график на бумаге или подключите функцию к калькулятору. Посмотрите, как приближаются левая и правая стороны функции. a-limit-not-exist-4-cases-examples-f3dcb25.jpg» alt=»Когда предел не существует? 4 случая и примеры» />

. Левая сторона приближается к отрицательной бесконечности, а правая сторона движется к положительной бесконечности. Итак, предела не существует.

2. Подставьте значения больше и меньше c{displaystyle c}



.

Посмотрите на левую часть функции или limx→0−x|x|{displaystyle lim _{xto 0-}{frac {x}{|x|}}}



. Посмотрите на правую часть функции или limx→0+x|x|{displaystyle lim _{xto 0+}{frac {x}{|x|}}}



. Подставьте значение справа от 0 или больше 0, например 1: 1|1|=11=1{displaystyle {frac {1}{|1|}}={frac {1} {1}}=1}



разные, поэтому ограничения не существует.

Если у вас есть калькулятор, введите несколько разных значений больше и меньше x{displaystyle x}



, которые ближе к c{displaystyle c }

Рассчитайте предел с помощью алгебры. Вместо того чтобы использовать график, чтобы понять, как функция ведет себя вблизи предела, используйте свое понимание алгебры. Знание того, что квадратный корень никогда не может быть отрицательным или что вы не можете разделить на 0, поможет вам определить, определена ли функция как x{displaystyle x}



приближается к некоторому значению c{displaystyle c}



. Если это не так, вы знаете, что предела не существует.

Например, оцените limx→−2−2x+2{displaystyle lim _{xto -2}{frac {-2}{x+2}}}



. Вы не можете разделить на 0, и функция не может быть дополнительно упрощена или вынесена за скобки для ее решения. Но вы знаете, что когда x>−2{displaystyle x>-2}



в уравнении результат становится все больше и больше отрицательным, поэтому приближается к отрицательной бесконечности. Когда x<−2{displaystyle x<-2}



, результат становится все более большим и положительным, так что он приближается к положительной бесконечности. Поскольку левая и правая стороны приближаются к бесконечности, предела не существует.

Что такое предел?

Предел — это значение, описывающее, как функция ведет себя в какой-то момент.Другими словами, предел дает вам значение, к которому функция приближается по мере приближения к другому числу. Математически предел определяется как limx→cf(x)=L{displaystyle lim _{xto c}f(x)=L}



, где x{displaystyle x}



приближается к значению c{displaystyle c}



в функции f(x){displaystyle f(x)}



чтобы дать вы предел L { Displaystyle L}



if:

Функция существует по адресу x=c{displaystyle x=c}

. limx→cf(x){displaystyle lim _{xto c}f(x)}



существует в функции и является действительным числом . limx→cf(x){displaystyle lim _{xto c}f(x)}



равно f(c){ displaystyle f(c)}



.